Página | 30
ACTIO, Curitiba, v. 4, n. 2, p. 30-47, mai./ago. 2019.
http://periodicos.utfpr.edu.br/actio
Paradoxos falsídicos: os primeiros
enfrentamentos do conceito de infinito no
contexto da ciência matemática
RESUMO
Gisele de Lourdes Monteiro
E-mail: giselemonteiro@icloud.com
Universidade Estadual Paulista “Júlio de
Mesquita Filho” (UNESP), Rio Claro, São
Paulo, Brasil.
Fabiane Mondini
E-mail: fabiane.mondini@unesp.br
http://orcid.org/0000-0003-4975-6637
Universidade Estadual Paulista “Júlio de
Mesquita Filho” (UNESP), Guaratinguetá,
São Paulo, Brasil.
fulano@gmail.com
orcid.org/0000-0001-8327-9147
Instituição (SIGLA), Cidade, Estado, País
Beltrano de Tal
beltrano@gmail.com
orcid.org/0000-0001-8327-9147
Instituição (SIGLA), Cidade, Estado, País
O artigo apresenta resultados de uma pesquisa teórica que objetivou estudar o infinito e a
relação deste conceito matemático com os paradoxos falsídicos a partir de exemplos dados
por Zenão, contrários a concepção atomista de tempo e espaço. Mais especificamente,
estudamos os paradoxos da Dicotomia, de Aquiles, que argumentam contra a hipótese de
o espaço ser dividido infinitamente. Investigamos, também, os paradoxos do Estádio e da
Flecha, que contradizem a hipótese do espaço ser dividido infinitamente e questionam a
possibilidade de um segmento ser formado por uma quantidade infinita de divisões.
Embora, na atualidade, estejamos acostumados a lidar diariamente, mesmo que de modo
intuitivo, com a ideia de velocidade e movimento, esses são, sem vida, conceitos
abstratos e deve-se a isso a importância dos paradoxos de Zenão: por expor um primeiro
pensar sistemático sobre o assumo. O paradoxo da Flecha e o do Estádio são de fato reais
se o tempo for composto por unidades mínimas indivisíveis e o espaço por pontos discretos.
Em contrapartida, se tempo e espaço forem considerados contínuos, surgem os paradoxos
da Dicotomia de Aquiles. Dessa forma, Zenão cerca por todos os lados a ideia de movimento
e de velocidade, mostrando controvérsias contundentes que por vezes passam
despercebidas aos olhos acostumados a observar o movimento. Por meio da dialética,
partindo das premissas aparentemente consistentes e chegando a conclusões absurdas,
Zenão apresentou argumentos para provar a fragilidade dos conceitos de multiplicidade e
divisibilidade, adotados pela escola pitagórica. Esses paradoxos, fundamentados na filosofia
de Parménides, apresentavam situações para sustentar a impossibilidade do movimento,
considerando-o uma ilusão da percepção do mundo sensível e não uma verdade do mundo
inteligível, que caracteriza o ser como único, imutável, infinito e imóvel.
PALAVRAS-CHAVE: Educação Matemática. História da Matemática. Infinito. Paradoxo.
ACTIO, Curitiba, v. 4, n. 2, p. 30-47, mai./ago. 2019.
INTRODUÇÃO
Historicamente, atribuímos aos pré-socráticos as primeiras preocupações com
o infinito. Desde sua origem, as ideias envolvendo o infinito são controversas e
causadoras de perplexidade ao pensamento humano. Considerações dessa ordem
aguçaram a curiosidade sobre o sentido de infinito para a Matemática e,
consequentemente, sobre os chamados paradoxos desta ciência, que são
elaborados a partir desse conceito, tais como os paradoxos de Zenão.
O conceito de infinito na Matemática é abstrato, contrário à intuição, bastante
complexo à compreensão humana e sempre causou um desamparo lógico para os
que se aventuraram na busca por compreendê-lo. Foi tema de intensas reflexões
filosóficas e responsável pelo surgimento de vários paradoxos ao longo da História
da Matemática. O infinito é controverso, tanto na sua forma atual, como potencial,
e é um conceito que percorre todo o desenvolvimento da Matemática, desde o
estudo dos números irracionais no século VI a.C. até os números hiper-reais do
século XXI (MACHADO; SCHUCK; WAGNER, 2013).
Muitos matemáticos se dedicaram a compreender este tema que sempre
suscitou dúvidas e questionamentos. A incompreensão do infinito gerou
problemas inexplicáveis e que permaneceram por muito tempo como desafio.
Com o objetivo de compreender o infinito nos paradoxos falsídicos, elaboramos
este texto com a intenção de apresentar uma discussão sobre a constituição desse
conceito. Trata-se de um estudo teórico, histórico, analítico e reflexivo, que por
meio da leitura atenta de outras pesquisas, discute o assunto e apresenta uma
compreensão sobre a sistematização dessa ideia ao longo da História da
Matemática.
Esclarecemos que compreendemos a história dessa ciência como uma
produção” (VALENTE, 2007, p. 34). Partimos dos rastros deixados por esse conceito
no passado e que permanecem no presente , e sobre eles nos debruçamos
para produzir conhecimento. O papel do historiador consiste em efetuar um
trabalho sobre tais traços para construir os fatos. Desse modo, um fato não é outra
coisa que o resultado de uma elaboração, de um raciocínio, de uma compreensão,
a partir das marcas do passado, segundo as regras de uma crítica (VALENTE, 2007,
p. 34).
Contudo, a história que se elabora não consiste simplesmente na explicação
de fatos. A produção da história tampouco é o encadeamento deles no tempo, em
busca de explicações a posteriori. O ofício do historiador não parte dos fatos como
um dado a priori (VALENTE, 2007, p. 34). Nossa intenção é trazer à comunidade
um estudo histórico, em que o passado não nos é dado a priori, e a história aqui
apresentada é parte de um processo interpretativo e subjetivo, que se expõe ao
diálogo com a comunidade, buscando legitimidade e validação (VALENTE, 2007, p.
36).
O CONTRASSENSO DOS PARADOXOS MATEMÁTICOS
O vocábulo paradoxo é composto, etimologicamente, pelo prefixo grego
para (contra) e pelo sufixo doxa (senso). Ou seja, um paradoxo é uma
afirmação que expressa ou parece expressar uma incoerência lógica, uma
ACTIO, Curitiba, v. 4, n. 2, p. 30-47, mai./ago. 2019.
sequência de pensamentos que leva a um absurdo, uma ideia contrária ao senso
comum. De acordo com o dicionário de Língua Portuguesa, paradoxo “é uma
opinião ou proposição contrária ao senso comum; contrassenso, disparate. Falta
de coerência ou de lógica [...]” (MICHAELIS, 2015, s. p.), ou ainda, “certo tipo de
pensamento que contraria os princípios que costumam nortear o pensamento
humano ou desafia o conhecimento e a crença da maioria dos seres humanos
(MICHAELIS, 2015, s. p.). Segundo Abbagnano (1998), paradoxo também pode ser
definido como um sistema de crenças, contrárias a opinião da maioria.
Aristóteles, em Refutações sofísticas (cap. 12), considera a redução de um
discurso a uma opinião paradoxal como o segundo fim da Sofística (o primeiro
é a refutação, ou seja, provar a falsidade da asserção do adversário). Bernhard
Bolzano intitulou Paradoxos do infinito (1851) o livro no qual introduziu o
conceito de infinito como um tipo especial de grandeza, dotado de
características próprias, e não mais como limite de uma série. [...]. No sentido
religioso, chamou-se Paradoxo a afirmação dos direitos da fé e da verdade do
seu conteúdo em oposição às exigências da razão (ABBAGNANO, 1998, p.
742).
Ainda, de acordo com Dias (1999) em seu livro Compêndios de Matemática e
Lógica Matemática,
Paradoxo é um argumento que produz uma conclusão surpreendente, à qual
é contrária à nossa intuição. Os paradoxos podem ser classificados em
Paradoxos Verídicos (aqueles que apresentam conclusões verdadeiras) e em
Paradoxos Falsídicos (aqueles que apresentam conclusões falsas) (DIAS, 1999,
p. 53).
Como se pode perceber, as definições dadas pela filosofia, matemática e
Língua Portuguesa não estão em contradição, embora cada área apresente sua
especificidade.
No contexto deste trabalho apresentamos o termo paradoxo em sua acepção
que designa uma proposição ou crença contrária ao senso comum e à intuição.
Para efeitos didáticos, vamos utilizar a classificação adotada por Quine (1976), a
saber: paradoxos falsídicos (proposições aparentemente verdadeiras, no entanto
falsas), paradoxos verídicos (proposições aparentemente falsas, no entanto
verdadeiras) e antinomias (afirmações impossíveis de ser classificadas como falsas
ou verdadeiras)
1
.
Os paradoxos foram de suma importância para o desenvolvimento da
Matemática, pois na busca de solução para o desamparo lógico que eles causavam
é que foi desenvolvido o rigor matemático, em especial na área da lógica, bem
como muitas outras ideias matemáticas.
Para identificar um paradoxo é necessário observar características implícitas
ou explícitas do argumento que leva a uma sanção aparentemente falsa ou
inconsistente. Quando a afirmação é falsa ou incoerente, surge a necessidade de
refutá-la. Porém, nem sempre isto é imediato, haja vista que muitas vezes o
argumento é aparentemente consistente. Por exemplo, a declaração “esta
afirmação é falsa” é paradoxal, porque se a declaração for falsa é verdadeira e se
for verdadeira é falsa. Afirmações deste tipo são controversas à ideia de que não
há frases declarativas com valores diferentes de verdadeiro ou falso. Desta forma,
percebe-se que nem sempre é simples verificar que um argumento, ou conjunto
ACTIO, Curitiba, v. 4, n. 2, p. 30-47, mai./ago. 2019.
deles, ocasiona paradoxos. Para resolver tal empasse, deve-se mostrar que o
argumento em que se baseia não é coerente, seja porque é inválido ou porque se
fundamenta em premissas falsas.
Os paradoxos falsídicos, objetos de estudo desta pesquisa, são aqueles cujos
argumentos são aparentemente consistentes, porém, nos levam a conclusões
absurdas. Dentre esses paradoxos estão os de Zenão, que partem de argumentos
a priori consistentes e chegam à conclusão inconcebível da impossibilidade do
movimento. Em suma, os paradoxos falsídicos apresentam conclusões sempre
falsas e a inconsistência se encontra em algum dos argumentos ou em alguma
inferência.
PARADOXOS DE ZENÃO
Durante o século V a.C., as ideias pitagóricas sofreram algumas críticas,
provenientes de outra corrente filosófica, fundada por Parménides
2
de Eleia
3
(515
450 a.C.). A escola pitagórica, mais direcionada para o abstrato, afirmava que o
número, em toda a sua pluralidade, era o constituinte básico de todos os
fenômenos. Este conceito atomístico de número, representado pelos números
figurativos, foi fortemente questionado pelos seguidores da escola eleática. “O
artigo de básico dos eleáticos era a unidade e permanência do ser, visão que
contrastava com as ideias pitagóricas de multiplicidade e mudança” (Boyer, 1996,
p. 51). Zenão de Eleia, um dos discípulos mais conhecido dessa escola, escreveu
um livro contendo 40 paradoxos sobre a impossibilidade do movimento. Essa obra
foi perdida, mas seu trabalho foi transmitido para outras escolas, principalmente
a de Platão e a de Aristóteles, o que possibilitou o conhecimento de seu trabalho
na atualidade. Dentre os paradoxos de Zenão, destacamos: Dicotomia, Aquiles,
Flecha e Estádio, todos paradoxos classificados como falsídicos.
Em seus paradoxos, Zenão apresenta argumentos para provar a fragilidade
dos conceitos de multiplicidade e divisibilidade. Ele adotava a dialética partindo
das premissas aparentemente consistentes e chegando a conclusões absurdas
como, por exemplo, a impossibilidade do movimento (Pessoa JR, 2008, p. 7; Boyer,
1996, p. 51).
Parménides foi o fundador da escola eleática e mentor de três princípios
básicos, a saber: o princípio da identidade, o princípio da unidade e o princípio da
imutabilidade. Todavia, na Matemática, em sua época, havia dois tipos de
concepções que divergiam. Uma delas tratava dos elementos discretos separados
e indivisíveis, ou seja, os números. A outra dizia respeito à continuidade, isto é,
tratava de segmentos de retas e medidas de um modo geral com a propriedade de
serem infinitamente divisíveis. O que é importante observar é que esse fato é
contrário ao princípio da identidade. E foi desse conflito entre discreto e contínuo
que nasceram os paradoxos de Zenão (Rezende, 2003, p. 94-95).
Zenão defendia as ideias de seu mestre, exaltando a unicidade e permanência
em detrimento da pluralidade
4
e do movimento. Seu método consistia em supor
uma tese e, a partir disso, desenvolver uma consequência que fosse contrária à
sua suposição e, dessa forma, chegar ao absurdo (Pessoa JR, 2008, p. 7).
A escola pitagórica acreditava que o espaço e o tempo podiam ser constituídos
de pontos e instantes, respectivamente. Por outro lado, o tempo e o espaço
ACTIO, Curitiba, v. 4, n. 2, p. 30-47, mai./ago. 2019.
também possuem a propriedade conhecida como continuidade. Agora, “suponha-
se que os elementos terminais que constituíam uma pluralidade, de um lado
possuíam as características da unidade geométrica o ponto e por outro
possuíam certas características de unidade numérica” (Boyer, 1996, p. 51). Esse foi
o ponto culminante dos paradoxos e foi contra essa dualidade que Zenão propôs
seus paradoxos.
De acordo com Brolezzi (1996, p. 22), a questão “está em se considerar tempo
contínuo e espaço discreto, ou vice-versa. Os paradoxos de Zenão recolhem essa
sensação de certo desamparo intuitivo, pois relatam uma situação de perplexidade
comum frente à continuidade e ao infinito”.
Com esses paradoxos Zenão queria atacar a existência do movimento, que de
acordo com ele não passava de ilusões provocadas pelos sentidos humano. Porém,
é importe lembrar que Zenão era um eleata e sobretudo filósofo e lógico, portanto,
questões como da impossibilidade do movimento eram abordadas por essa escola
muito mais filosoficamente do que matematicamente. Vale ainda ressaltar que
esses paradoxos contribuíram para o desenvolvimento do raciocínio matemático
em relação ao rigor lógico, pois eles provocaram, desde a antiguidade até os dias
atuais, muitos pesquisadores a buscarem soluções para o impasse gerado. Essas
tentativas de explicação conduziram a muitas reflexões sobre o tema, e tais
paradoxos foram considerados insolúveis até a criação do cálculo e o
desenvolvimento das ideias de continuidade e infinito, conforme aponta Monteiro
(2008),
Para os matemáticos gregos, que não tinham uma real concepção de
convergência em particular para o infinito, estes raciocínios eram
incompreensíveis. Aristóteles considerou-os e resolveu pô-los de parte,
ficando ao “abandono” por quase 2500 anos. Hoje, com o desenvolvimento
da Matemática, nomeadamente no estudo de somas infinitas e de conjuntos
infinitos, estes Paradoxos podem ser explicados de um modo razoavelmente
satisfatório. Mas ainda agora, o debate continua sobre a validade dos
Paradoxos e as suas racionalizações (MONTEIRO, 2008, p.12).
Zenão, em seus paradoxos da Dicotomia e de Aquiles, argumenta contra a
hipótese de o espaço ser dividido infinitamente. nos paradoxos da Flecha e do
Estádio, ele questiona a possibilidade de um segmento ser formado por uma
quantidade finita de divisões. Sem utilizar a ideia de indivisibilidade do tempo, ou
seja, unidade mínima de tempo (instantes), o raciocínio de Zenão não faria sentido.
O paradoxo da Flecha contradiz os defensores da concepção atomista de tempo e
espaço, pois esta concepção é a geradora desse paradoxo.
Embora estejamos acostumados a lidar diariamente, mesmo que
intuitivamente, com a ideia de velocidade e movimento, esses são, sem dúvida,
conceitos bem abstratos. Deve-se a isso a importância dos paradoxos de Zenão. O
paradoxo da Flecha e o do Estádio são, de fato, reais, se o tempo for composto por
unidades mínimas indivisíveis e o espaço por pontos discretos. Em contrapartida,
se tempo e espaço forem considerados contínuos, surgem os paradoxos da
Dicotomia de Aquiles. Dessa forma, Zenão cerca por todos os lados a ideia de
movimento e de velocidade, mostrando controvérsias contundentes que por vezes
passam despercebidas aos olhos já acostumados a observar o movimento.
A atitude mais comum em relação aos paradoxos de Zenão, desde sua origem,
“é a do filósofo que, após ouvir as explicações de Zeno sobre a impossibilidade do