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ACTIO, Curitiba, v. 4, n. 2, p. 127-147, mai./ago. 2019.
http://periodicos.utfpr.edu.br/actio
Ideias base do conceito de função
mobilizadas por estudantes do ensino
fundamental e ensino médio
RESUMO
Fabricia Bernardino
fabriciabernardi123@hotmail.com
orcid.org/0000-0001-9650-6804
Universidade Estadual do Paraná
(UNESPAR), Campo Mourão, Paraná,
Brasil.
Wellington Fernando Delvechio
Gama Garcia
wellingtondelvechio@gmail.com
orcid.org/0000-0002-6577-7430
Universidade Estadual do Paraná
(UNESPAR), Campo Mourão, Paraná,
Brasil.
Veridiana Rezende
rezendeveridiana@gmail.com
orcid.org/0000-0002-4158-2196
Universidade Estadual do Paraná
(UNESPAR), Campo Mourão, Paraná,
Brasil.
fulano@gmail.com
orcid.org/0000-0001-8327-9147
Instituição (SIGLA), Cidade, Estado, País
Beltrano de Tal
beltrano@gmail.com
orcid.org/0000-0001-8327-9147
Instituição (SIGLA), Cidade, Estado, País
De acordo com documentos curriculares, o conceito de função deve ser estudado
oficialmente no e no ano do Ensino Fundamental, e aprofundado no Ensino Médio.
No entanto, desde os anos iniciais é possível introduzir ideias base variável,
correspondência, dependência, regularidade e generalização desse conceito, para que no
decorrer do processo escolar o conceito de função possa ser desenvolvido pelos estudantes.
Sendo assim, realizamos esta pesquisa com o objetivo de analisar as ideias base sobre
função mobilizadas por estudantes do do Ensino Fundamental e 3º ano do Ensino Médio,
mediante a resolução de tarefas matemáticas sobre função afim. A coleta de dados ocorreu
por meio de entrevistas semiestruturadas, que foram gravadas em áudio e que contou com
tarefas matemáticas previamente elaboradas para os estudantes resolverem. As análises
mostram que os estudantes mobilizam parcialmente as ideias base de função, e que as
maiores dificuldades ocorrem em relação à noção de generalização. Além disso, os alunos
manifestaram dificuldades em reconhecer uma função nas representações gráficas e
linguagem natural.
PALAVRAS-CHAVE: Ensino de Matemática. Educação Básica. Função afim.
ACTIO, Curitiba, v. 4, n. 2, p. 127-147, mai./ago. 2019.
INTRODUÇÃO
O conceito de função é certamente um dos conceitos fundamentais da
Matemática, porém, seu estudo é complexo, podendo gerar dificuldades aos
alunos em fase de aprendizagem escolar de diferentes níveis de ensino, e até
mesmo aos professores, conforme revelam algumas pesquisas (NUNES; SANTANA,
2017; PIRES; MERLINE; MAGINA, 2015; RAMOS; CURI, 2014).
A Base Nacional Comum Curricular (BNCC) (BRASIL, 2017) menciona como
essencial que o estudo de noções básicas de função inicie durante a introdução de
ideias algébricas desde os anos iniciais, a partir da regularidade, estabelecimento
de regras de formação de uma sequência, proporcionalidade e resolução de
problemas envolvendo a variação proporcional direta entre duas grandezas. Ainda
de acordo com este documento (BRASIL, 2017), o estudo desse conceito deve ser
aprimorado e formalizado no ano do Ensino Fundamental e no 1º ano do Ensino
Médio.
Nesse sentido, Braga (2006) também defende que as ideias de variação e de
dependência (duas noções base para as funções) deveriam ser exploradas desde
os anos iniciais e, dessa forma, progressivamente, ao longo do processo escolar,
transitar pelas representações tabulares, gráficas e analíticas, atingindo a
formalização do conceito de função pelo sujeito. No entanto, ainda segundo Braga
(2006, p. 82-83), no ensino de funções “[...] frequentemente a atenção do aluno é
focada na montagem da expressão algébrica, o havendo, em geral, nenhuma
menção nem questionamentos quanto à variação e à relação de dependência das
grandezas envolvidas”.
Enquanto algumas pesquisas (NOGUEIRA, 2014; PAVAN, 2010; BRAGA,
2006) e documentos curriculares (BRASIL, 2017; BRASIL, 1998) apontam para a
necessidade de se incluir situações com ideias base de funções (variável,
dependência, regularidade, generalização) para alunos dos anos iniciais, outras
pesquisas (NUNES; SANTANA, 2017; PIRES; MERLINE; MAGINA, 2015; RAMOS;
CURI, 2014) apontam erros e incompreensões de estudantes de Licenciatura em
Matemática e de professores da Educação Básica em relação às funções.
Segundo Vergnaud (1990), a aprendizagem de um conceito se ao longo
do processo escolar, em decorrência das diferentes situações vivenciadas pelos
sujeitos. Para este pesquisador, a aprendizagem de um conceito não ocorre por
meio de uma única situação, e, ao mesmo tempo, uma única situação envolve
diferentes conceitos. Vergnaud (2003) atribui muita importância à reflexão nas
aprendizagens matemáticas, e tenta compreender, nas ações dos sujeitos, aquelas
que estão relacionadas a conhecimentos implícitos, por ele denominados de
invariantes operatórios, que podem ser incorretos, do ponto de vista do
conhecimento escolar, ou verdadeiros. Segundo o pesquisador, não é apenas a
resolução de um problema pelos sujeitos que interessa, mas sim o modo pelo qual
eles resolvem e, principalmente, os conhecimentos (invariantes operatórios) que
os alunos mobilizam ao resolver um problema.
Com esse olhar, também surge a necessidade de reconhecermos os
principais erros manifestados nas resoluções dos estudantes relacionados a um
conceito matemático, para que possamos propor boas tarefas em sala de aula na
tentativa de desestabilizar os conhecimentos equivocados, proporcionando
aprendizagens aos estudantes.
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Nesse sentido, desenvolvemos esta pesquisa com o objetivo de analisar
ideias base sobre função mobilizadas por estudantes do 9º do Ensino Fundamental
e do 3º ano do Ensino Médio, mediante a resolução de tarefas matemáticas sobre
função afim. Para isso, os sujeitos da pesquisa resolveram sete (07) tarefas
matemáticas, em situação de entrevistas semiestruturadas, que foram gravadas
em áudio. Os sujeitos da pesquisa foram 06 estudantes da Educação Básica, sendo
03 estudantes do ano do Ensino Fundamental e 03 estudantes do ano do
Ensino Médio.
A seguir, apresentaremos alguns aspectos da teoria dos Campos
Conceituais, que proporcionou subsídios para o desenvolvimento desta pesquisa,
bem como as ideias base de função, seguidas de exemplos.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA: PRESSUPOSTOS DA TEORIA DOS CAMPOS
CONCEITUAIS E IDEIAS BASE DE FUNÇÃO
A teoria dos Campos Conceituais nasceu na década de 1980, sendo que uma
de suas finalidades era explicar o processo de conceitualização das estruturas
aditivas e multiplicativas. Contudo, devido a eficácia dessa teoria, no que se refere
a compreender os processos cognitivos no decorrer do desenvolvimento de um
sujeito, ela tem contribuído com pesquisas dos mais variados campos científicos,
tais como Física, Biologia, Psicologia, entre outros.
Vergnaud teve seu doutorado orientado por Jean Piaget e, segundo Rezende
(2013), a teoria de Vergnaud além de complementar pressupostos teóricos do
mestre genebrino, consiste em elementos que apresentam diferenças notáveis
entre essas teorias, como a importância atribuída ao papel da linguagem, dos
símbolos e da representação para a formação de um conceito, por exemplo.
Segundo Vergnaud (1990), para o estudo de um conceito são necessários
diversos outros conceitos, situações, símbolos, representações, propriedades e
teoremas, todos interligados, formando o que o pesquisador denomina por Campo
Conceitual. Ou seja, um conceito não pode ser examinado e apreendido
isoladamente, são necessárias diversas situações para compreendê-lo. E,
igualmente, uma única situação pode estar ligada a diversos outros conceitos.
Vergnaud (1990) defende que a primeira entrada de um Campo Conceitual
são as situações que dão sentido ao conceito. Sendo assim, considerando a
experiência e pesquisas identificadas pelos autores deste texto, inferimos que o
Campo Conceitual das funções ainda não está estabelecido pela comunidade
científica, apresentando-se como um caminho a ser desbravado pelos
pesquisadores. Contudo, podemos afirmar que as diferentes situações que
contemplam o Campo Conceitual das funções envolvem diversos conceitos e
elementos matemáticos necessários para a resolução destas situações. Dentre
estes elementos, citamos as noções de número (reais, irracionais, racionais,
inteiros), continuidade, infinito, potência, raízes da função, polinômios, variável,
dependência, correspondência, generalização, domínio, imagem, contradomínio,
pontos de máximo e mínimo, plano cartesiano, taxa de variação,
proporcionalidade, eixos coordenados, equações, diferentes tipos de funções,
entre muitos outros. Além dos conceitos, diferentes representações matemáticas
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tais como a gráfica, numérica, figural, linguagem natural e diferentes símbolos
também fazem parte do Campo Conceitual das funções.
Para compreender a noção de Campo Conceitual é preciso considerar a
definição de conceito estabelecida por Gérard Vergnaud. Para este pesquisador,
um conceito é definido como um conjunto de três elementos C (S, I, R), sendo que
S é o conjunto das situações que dão sentido ao conceito; I é o conjunto de
invariantes operatórios; R é o conjunto de representações simbólicas necessário
para representar os conceitos envolvidos nas situações, bem como as resoluções
dessas situações.
Um outro conceito essencial na teoria dos Campos Conceituais é
denominado pelo pesquisador de esquema. De acordo com Vergnaud (2009), o
conceito de esquema é fundamental para a compreensão da atividade do sujeito
que aprende. Aprender é construir conhecimentos e o conhecimento, segundo a
teoria piagetiana, é um processo de adaptação. Mas, adaptação a quê? Adaptamo-
nos às situações, mediante a evolução da organização de nossas atividades
(VERGNAUD, 2009). Desse modo, o pesquisador define esquema como:
[...] uma totalidade dinâmica funcional, uma organização invariante de
conduta, quanto a uma certa classe de situações. Essa organização comporta
objetivos e esperas, regras de ação, tomada de informação e de controle e é
estruturada por invariantes operatórios, isto é, conhecimentos adequados
para selecionar a informação e processá-la (conceitos-em-ato e teoremas-
em-ato) (VERGNAUD, 2003b, p. 66).
No decorrer das análises da presente pesquisa não tivemos a intenção de
explicitar os esquemas mobilizados pelos sujeitos. Mas, procuramos indicar
momentos em que os alunos não dispunham de um esquema pronto e organizado
para apresentar a resolução/resposta para as situações apresentadas.
No que diz respeito às ideias base de função, Nogueira (2014) menciona
cinco ideias base que são essenciais para a compreensão deste conceito, que são
as ideias de variável, correspondência, dependência, regularidade e generalização,
conforme descritas a seguir.
A ideia de variável representa um elemento qualquer de um conjunto, e
geralmente é denominado por uma letra. Segundo Nogueira (2014), mesmo para
estudantes do Ensino Médio essa noção gera confusões, e frequentemente os
alunos não costumam ter clareza sobre a diferença entre incógnita e variável.
Segundo Caraça (1951), a noção de variável é uma das mais difíceis para os alunos.
Assim, para auxiliar na compreensão desta ideia pelos alunos, é importante que
desde os anos iniciais os alunos vivenciem em sala de aula tarefas envolvendo
noções de variável, para que com o decorrer dos anos escolares os estudantes
possam se apropriar dessa noção matemática.
Baseado em Nogueira (2014), apresentamos o exemplo a seguir que trata
de uma situação envolvendo a ideia de variável, e que pode ser implementada com
os alunos desde os anos iniciais. Considere multiplicações do número 1 por outros
números, como por exemplo:
1 . 0 = 0; 1 . 5 = 5; 1 . 23 = 23; 1 . (-8) = -8; 1 . 2/3 = 2/3 e 1 . 146 = 146.
Sabemos que o produto do número 1 por um outro número qualquer resulta
o próprio número. Isso sempre ocorre, não importando o valor desse número.
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Assim, podemos utilizar uma expressão matemática para indicar esse fato, ou seja,
podemos considerar a letra x (ou qualquer outra) para indicar um número
qualquer (que pode ser variável) e escrevemos: 1. x = x.
De acordo com Caraça (2004), a ideia de correspondência é essencial para a
compreensão do conceito de função e também para a Matemática como ciência,
devido ao início da contagem pelos povos antigos que faziam correspondência
entre um objeto e um número na sucessão natural. Particularmente em relação ao
conceito de função, para se estudar leis quantitativas é preciso criar um
instrumento cuja essência seja a correspondência entre dois conjuntos (CARAÇA,
2004).
A ideia base de dependência é outra ideia essencial para caracterizar uma
função. Numa relação funcional, uma das grandezas, denominada de variável
dependente, é univocamente determinada pela variação da outra, a variável
independente (TINOCO, 2004). De acordo com Nogueira (2014), com essa ideia
matemática podemos observar a dependência entre grandezas que ocorre em
fenômenos da física, da biologia e de outras áreas de estudo, e que no estudo das
funções, sabendo o que é variável, o aluno poderá identificar variáveis
dependentes e independentes.
No que diz respeito à ideia base de regularidade, Nogueira (2014) considera
que muitos fenômenos apresentam regularidades, que ao serem identificadas
permitem fazer previsões para etapas ou situações seguintes que não podem ser
observadas.
A “descoberta” da regularidade pode ser iniciada desde muito cedo, na “[...]
Educação Infantil, trabalhando com desenhos as crianças podem ser estimuladas
a descobrir o ‘padrão de repetição’ de uma sequência” (NOGUEIRA, 2014, p. 8).
Um exemplo de regularidade mencionado pela autora se refere a uma situação
relacionada às rodas de um automóvel utilitário que esteja em concordância com
o código de trânsito brasileiro (CTB): um carro possui cinco rodas, dois carros
possuem dez rodas, três carros possuem quinze rodas e assim por diante. Nesta
situação, observa-se que existe uma regularidade na qual podemos obter por meio
dela a quantidade de rodas que terão vinte carros. Segundo Nogueira (2014), para
crianças maiores apresentar sequências numéricas do tipo: 5, 10, 15, 20, 25, ... e
pedir que os alunos adivinhem o número seguinte, é uma atividade que objetiva
a observação de regularidades. Esta mesma ideia pode ser aplicada no estudo de
múltiplos e divisores, de potências, entre outros.
A autora menciona ainda que “[...] o reconhecimento de regularidades em
situações reais, em sequências numéricas, ou padrões geométricos é uma
habilidade essencial à construção do conceito de função” (NOGUEIRA, 2014, p. 8).
Desse modo, entendemos como essencial que a ideia de regularidade seja
explorada no decorrer do processo escolar, para que no momento da formalização
deste conceito os alunos não se deparem com obstáculos na aprendizagem, mas
sim com a continuidade da construção do conceito de função, uma vez que
estariam construindo este conceito desde os anos iniciais.
No que concerne à generalização, a partir do momento que se estabelece
uma regularidade é possível obter a generalização, que envolve abstração
(CAMPINELI; CAMPINELI, 2006). É preciso que o aluno tenha domínio neste
quesito, que consiga avaliar corretamente as variáveis, a dependência (ou não)
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presente em determinado problema e, por fim, identificar a regularidade existente
e a generalização, que se trata de um elemento decisivo para a construção do
conceito de função (TINOCO, 2004).
Utilizando o exemplo mencionado anteriormente, relacionado às rodas de
carros, podemos obter uma fórmula matemática que relaciona o número de carros
à quantidade de rodas, ou seja, N = 5.n, sendo que N é o número de rodas; e n é o
número de carros; e 5 é o número de rodas por carro. Essa lei matemática diz
respeito à generalização. Sendo assim, por meio deste exemplo notamos a
presença das cinco ideias base de função: variável uma vez que variando o número
de carros obtemos o número de rodas; dependência pois o número total de rodas
depende do número de carro, sendo que N é a variável dependente, uma vez que
depende da quantidade de carros analisados e n é a variável independente;
regularidade uma vez que para cada valor particular atribuído ao número de carro
notamos uma regularidade nos valores obtidos para a quantidade de rodas;
generalização no momento em que a expressão algébrica ou a linguagem natural
é utilizada para representar que a quantidade de rodas é dada pela multiplicação
do número cinco por uma quantidade n (qualquer) de carros.
No processo de generalização, é preciso que os alunos também
desenvolvam a capacidade de apresentar argumentos na linguagem natural, que
justifiquem a validade da lei para qualquer caso, registrando-os. O registro de leis
gerais em linguagem algébrica ou gráfica é um passo decisivo para que se construa
o conceito de função. Para isso, consideramos fundamental selecionar atividades
que tenham significados para o aluno e que estejam ligadas ao seu dia a dia.
Mediante tais situações, o aluno se familiariza também com as diversas formas de
representar funções: linguagem natural; representação gráfica e representação
simbólica (numérica e algébrica). Defendemos que a generalização por meio de
linguagem simbólica deve ser inserida aos poucos no decorrer do processo escolar,
para que no ano o estudante possa compreender esta e as demais ideias base
essenciais para o conceito de função.
No que se refere às diferentes representações matemáticas, Duval (2013) é
enfático ao afirmar que a compreensão de um conceito matemático ocorre por
meio da articulação entre os diferentes registros de representação semiótica,
denominados pelo autor como: registros de representação em linguagem natural,
gráfica, figural (figuras geométricas) e simbólica (representações algébricas e
numéricas). Essa articulação entre os registros deve ocorrer, do ponto de vista do
pesquisador, por meio da transformação de um registro de representação
semiótica para outro, e vice-versa, ou seja, as tarefas matemáticas propostas aos
alunos devem proporcionar idas e vindas entre os registros.
Considerando elementos que compõem o Campo Conceitual das funções, e
tomando como princípio que as diferentes situações presentes no Campo
Conceitual da função afim também envolvem as cinco ideias base mencionadas
acima, notamos a complexidade deste campo conceitual, fato que justifica os erros
e dificuldades de estudantes e professores, apontados em algumas pesquisas
(NUNES; SANTANA, 2017; PIRES; MERLINE; MAGINA, 2015; RAMOS; CURI; 2014).
Nesse sentido, partimos do pressuposto que um conceito está em constante
aprimoramento pelo sujeito, sendo compreendido no decorrer da experiência
escolar por meio das diferentes situações que lhes são propostas. Sendo assim, e
ACTIO, Curitiba, v. 4, n. 2, p. 127-147, mai./ago. 2019.
considerando que as ideias base de função devem ser estudadas desde os anos
iniciais, desenvolvemos este trabalho com a intenção de analisar ideias base sobre
função mobilizadas por estudantes do 9º do Ensino Fundamental e 3º ano do
Ensino Médio, mediante a resolução de tarefas matemáticas sobre função afim.
Com esta pesquisa, tivemos a intenção de compreender se estas ideias base são
mobilizadas de modo adequado por estudante que finalizam o Ensino
Fundamental e o Ensino Médio.
APRESENTAÇÃO DAS TAREFAS E PROCEDIMENTOS PARA A COLETA DE
INFORMAÇÕES PARA A PESQUISA
Para o desenvolvimento deste trabalho, selecionamos sete (07) tarefas
matemáticas sendo que cada uma delas envolve pelo menos duas ideias base de
função. Para a seleção das tarefas, primeiramente realizamos diversos estudos de
artigos relacionados ao conceito de função (NUNES; SANTANA, 2017; PIRES;
MERLINE; MAGINA, 2015; RAMOS; CURI; 2014), principalmente aqueles
publicados em periódicos científicos disponíveis online da área de Ensino,
qualificados como A1, A2 e B1, por meio de um levantamento destes textos
realizado pelos autores desta pesquisa¹. Além destes artigos, também foram
considerados para nossos estudos dissertações de mestrado em Educação
Matemática, como por exemplo, Roratto (2010) e Pavan (2009), com foco nas
ideias base de função. Durante os estudos, buscamos por tarefas que
contemplassem as ideias base de função, que serviram como parâmetro para as
escolhas do instrumento de pesquisa.
Apresentamos no Quadro 1 cada uma das tarefas associadas às suas ideias
base que estão vinculadas.
Quadro 1 - Instrumento elaborado pelos autores para a pesquisa
Tarefas
Ideias base
Tarefa 1 (RORATTO, 2010) - Entende-se por Cadeia Alimentar o “conjunto das
espécies animais e vegetais, dispostas em níveis,
de forma que a espécie situada em nível superior
se alimenta da inferior”. Sabendo que o tamanho
de uma população está diretamente relacionado
com a quantidade de alimento disponível e
inversamente proporcional à quantidade de
predadores existentes, responda as perguntas a
respeito da cadeia alimentar ilustrada.
a) O que acontecerá com as outras espécies se houver uma redução da
quantidade de vegetais nesse ecossistema? Por quê?
b) Se, por algum motivo, aumentar consideravelmente o número de águias na
região, o que acontecerá com cada uma das espécies? Por quê?
c) Se a população de passarinhos reduzir consideravelmente, o que
acontecerá com a população de águias? E com a de vegetais? Por quê?
d) Quais são as relações de dependência presentes no enunciado e na figura?
Dependência e
Correspondência
Tarefa 2 (RORATTO, 2009) - O senhor Traba Lhador foi a fotocopiadora ao
lado de seu trabalho e deparou-se com a seguinte tabela:
Quantidade
Valor da Cópia em
Preto e Branco
(R$)
Valor da Cópia
Colorida (R$)
1
0,09
Variável
Correspondência
Dependência
Regularidade
Generalização
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2
0,18
2,40
3
0,27
3,60
4
5
0,45
6,00
6
7,20
7
0,63
8
9
10
0,90
12,00
a) Quais as relações de dependência na tabela?
b) Do que depende o preço a ser pago por um cliente que for até a
fotocopiadora?
c) Os valores expressos na coluna “Quantidade” dependem de alguma outra
grandeza?
d) Quanto custaria 12 cópias em preto e branco? E 12 cópias coloridas?
e) Você poderia indicar uma lei matemática que represente a quantidade de
cópias em preto e branco e o valor a ser pago? E para cópias coloridas?
Tarefa 3 (Autores desta pesquisa) - O restaurante Rango cobra R$ 2,30 pelo
consumo de 100g de comida. Duas pessoas foram ao restaurante Rango e
cada uma consumiu uma lata de refrigerante que custa R$ 3,20 e as seguintes
quantidades de alimentos:
Fabricia consumiu 200g. Fernando consumiu 410g.
a) Qual o valor pago por cada pessoa?
b) Você poderia indicar uma expressão matemática (lei) que relaciona o peso
(p) ao valor a ser pago (V), incluindo o refrigerante?
c) Se uma pessoa consome um refrigerante e, em média, 400g por dia de
segunda a sexta-feira, em 4 semanas, quanto ela gastará?
d) Wellington almoçou no restaurante Rango e pagou R$ 21,60 pela refeição
mais um refrigerante. Quantos gramas de comida ele consumiu?
Variável
Correspondência
Dependência
Regularidade
Generalização
Tarefa 4 (TENÓRIO; OLIVEIRA; TENÓRIO, 2014) Seu Joaquim está analisando
duas propostas de planos de saúde:
Plano 1: Inscrição R$100,00 e a cada consulta R$50,00
Plano 2: Inscrição R$160,00 e a cada consulta R$40,00
a) Do que depende o gasto total (y) de cada Plano?
b) É possível determinar uma lei de formação para cada plano? Se sim,
determine:
c) Qual o valor gasto após três consultas?
d) Qual o valor gasto após seis consultas?
e) É possível afirmar que em determinadas condições: O plano 1 é mais
econômico? E o plano 2?
f) Você poderia representar num mesmo plano cartesiano os gráficos de cada
plano?
g) Após a construção do gráfico, você mudaria a sua resposta em relação ao
item (e)? Justifique a sua resposta.
Variável
Correspondência
Dependência
Regularidade
Generalização
Tarefa 5 (CARNEIRO; FANTINEL; SILVA, 2003) - Podemos afirmar que as
situações a seguir representam funções?
Um carro se move, numa certa rodovia. O motorista, a cada ponto de
pedágio, anota a distância percorrida e o tempo de percurso.
A relação f: R → R
Variável
Correspondência
Dependência
Regularidade
Generalização
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Os pares de
valores para X e
Y a seguir:
Tarefa 6 (RORATTO, 2009) -
Uma caixa de água tem
capacidade de 1000 litros e
possui certa quantidade de
água em seu interior. Em
determinado instante, uma
torneira é aberta para encher
a caixa. Baseado no gráfico
abaixo, que representa o
volume de água no interior da
caixa em função do tempo
durante os primeiros 10 minutos e, sabendo que a taxa de aumento de vazão
da torneira permanece constante até o completo enchimento da caixa,
responda as perguntas.
a) Que grandezas o gráfico associa?
b) É possível indicar qual é a variável dependente e qual é a independente?
Justifique.
c) Quantos litros havia na caixa após 7 minutos?
d) Qual a taxa de vazão de água da torneira?
e) Você poderia indicar a lei matemática que expressa o volume de água na
caixa em função do tempo?
f) Você poderia indicar o domínio e a imagem dessa lei?
g) Quanto tempo levará até o completo enchimento da caixa?
h) Supondo que a torneira fique aberta durante 25 minutos, quantos litros de
água irão transbordar?
Variável
Correspondência
Dependência
Regularidade
Generalização
Tarefa 7 - Você já estudou sobre funções nas aulas de Matemática? Em caso
positivo diga, para você, o que é função?
Fonte: Autoria própria (2018).
Após a seleção das tarefas, fizemos contato com duas escolas públicas do
interior do Paraná, apresentamos nosso projeto para as respectivas direções das
escolas e pedimos a colaboração para que pudéssemos aplicar as tarefas com os
estudantes. Diante da aprovação das direções, solicitamos seis² alunos para
colaborarem com a nossa pesquisa, sendo três do 9º ano e três alunos do 3º ano
do Ensino Médio. Explicamos que seria importante o professor selecionar estes
alunos de modo que eles tivessem desempenhos mediano em Matemática, o
sendo um aluno com destaque e nem com muitas dificuldades nessa disciplina.
A aplicação das tarefas foi realizada na forma de entrevista semiestruturada,
e foi gravada em áudio, oportunizando ao pesquisador dialogar com os estudantes.
As tarefas foram realizadas pelos alunos individualmente, em uma sala
disponibilizada pela orientadora pedagógica do colégio. As tarefas foram
impressas em folhas individuais e entregues aos estudantes uma por vez,
conforme eles finalizavam cada uma delas entregávamos a tarefa seguinte. Foram
disponibilizados lápis, borracha, régua e calculadora. Durante as resoluções,
quando os estudantes mobilizavam conhecimentos errôneos, instigávamos os
alunos a repensarem, lançando perguntas do tipo: “você acha que é isso mesmo
que o problema está pedindo? Você pode refazer a leitura do problema? Será que
o problema teria outra resposta?
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Durante os questionamentos não fazíamos validações das respostas, mas
procuramos proporcionar aos estudantes reflexões que os levavam a perceber
seus erros e apresentar uma resposta diferente da inicial. Sendo assim,
entendemos, fundamentados em Vergnaud (1990), que as entrevistas
proporcionaram momentos de aprendizagens para os estudantes.
Com base nos registros escrito e oral dos alunos, realizamos as análises da
pesquisa. Para a identificação dos sujeitos da pesquisa, utilizamos as siglas EF para
alunos do Ensino Fundamental, e EM para alunos do Ensino Médio, juntamente
com um número indicado para cada aluno (EXEMPLO: EF1, EM3), de forma a
preservar a identidade dos entrevistados.
ANÁLISE DAS RESOLUÇÕES DOS ALUNOS
A primeira tarefa teve como objetivo propiciar reflexões sobre a ideia base
de dependência e correspondência de variáveis, representados em linguagem
natural a tarefa foi proposta em linguagem natural e as respostas dos alunos
também eram apresentadas em linguagem natural. O contexto da tarefa é
referente a uma cadeia alimentar, na qual um animal pertencente a cadeia
dependia diretamente de outro animal (pois se alimentaria dele), este mesmo
animal dependia também indiretamente de todos os outros animais daquele
grupo. Um dos pontos que consideramos interessante nessa tarefa é que os alunos
têm a possibilidade de perceber a noção de dependência direta e indireta
ilustradas na tarefa, que aparentemente não se trata de uma tarefa matemática,
mas que as ideias envolvidas são matemáticas.
Em relação à primeira tarefa, os três alunos do ano atenderam às
expectativas prévias dos pesquisadores, eles refletiram um tempo para responder,
mas apresentaram a resposta esperada, como por exemplo, que a “Águia depende
da Cobra, a Cobra depende do Pássaro, o Pássaro depende do Gafanhoto e o
Gafanhoto depende dos Vegetais, e que, se diminuir o número de Águias, o
número de Cobras aumenta, assim o número de Pássaros diminui, levando ao
aumento do número de Gafanhotos, e, por consequência, a diminuição no número
de Vegetais”.
O Aluno EF2, apesar de responder a todas as questões corretamente,
apresentou dificuldades em explicitar suas respostas, e constantemente refazia a
leitura das questões da tarefa. Baseados em Vergnaud (1990), entendemos que
este aluno não tinha um esquema pronto para a resolução da tarefa 1, e que foi
preciso refletir sobre a situação, mobilizar seus conhecimentos prévios, mobilizar
diferentes esquemas que o conduziu a apresentar a resposta correta para a tarefa
1 proposta.
Em relação aos alunos do 3º ano do Ensino Médio, notamos que eles
generalizavam suas respostas, apresentando inicialmente esquemas equivocados,
concluindo, por exemplo, que se devido a algum fator um animal diminui, todos os
demais também diminuem. Os três alunos do Ensino Médio apresentaram
soluções equivocadas, mas solicitamos que repensassem e após suas próprias
análises conseguiram finalizar a atividade corretamente. Como exemplo de
solução equivocada apresentamos a resposta do aluno EM2 para o item (b), para
o qual a resposta correta é que as cobras e os gafanhotos irão diminuir pelo motivo
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das águias que se alimentam das cobras terem aumentado, e como os pássaros
dos quais as cobras se alimentam aumentaram, os gafanhotos também irão
reduzir. O aluno EM2 respondeu que a cobra iria diminuir e por consequência
todos os animais iriam diminuir o que foi um pensamento errôneo. Como citado,
durante a entrevista e com a intenção de que o aluno percebesse sobre o seu erro,
perguntamos se realmente todos os animais iriam diminuir. O aluno EM2, ao
refletir, modificou sua resposta e concluiu que apenas as cobras e os gafanhotos
iriam diminuir.
A segunda tarefa também tinha como objetivo retomar a questão da
dependência entre variáveis, mas também proporcionar a articulação das ideias
de correspondência, regularidade, dependência e generalização. Diferente da
tarefa 1, a tarefa 2 envolve linguagem natural e representação simbólica (numérica
e algébrica). Nesta tarefa, os alunos deveriam utilizar operações matemáticas
(adição, subtração, multiplicação e divisão) para a resolução do problema, que está
associada a uma regularidade que, por sua vez, os conduziriam à generalização.
Durante as entrevistas com os alunos do 9º ano, diversas intervenções
foram necessárias por parte do pesquisador. As respostas foram diferentes das
esperadas pelos pesquisadores, e os alunos mobilizaram incorretamente diversos
conceitos e estratégias (esquemas). Ao ser questionado se a variável Quantidade
(independente) dependia de alguma outra coisa, o aluno EF2 respondeu: Do
mesmo jeito que a quantidade depende do valor, o valor também depende da
quantidade, não depende? [...] É talvez porque se eu vou imprimir e eu não
tenho tanto dinheiro eu vou imprimir pouco”. Chamamos atenção para esta fala
do aluno, pois os pesquisadores não esperavam uma resposta como esta, ou seja,
ressalta o fato de que o contexto do adulto é diferente do contexto da criança e
do adolescente, e embora a questão de cópias de xerox possa fazer parte da
realidade escolar, essa situação envolve o fator financeiro, e a resposta do aluno
sinaliza para o fato que ter dinheiro para fazer cópias nem sempre faz parte da
realidade dos adolescentes das escolas públicas brasileiras.
Ainda na tarefa 2, o aluno EF3 respondeu que a coluna que representava a
variável Quantidade não dependia de outra grandeza, porém, apesar de estar
correta, o aluno demonstrou não dominar a ideia base de dependência, pois não
conseguiu explicar ao pesquisador porque essa variável não dependia de outra.
Identificamos ainda que os alunos do Ensino Fundamental, por diversas vezes,
confundiram os operadores soma e multiplicação e, além disso, os três alunos
utilizaram para fazer as contas na calculadora o número 0,90 ao invés do número
0,09, que seria o correto de acordo com os dados da tarefa proposta. Notamos na
resposta deste aluno equívocos relacionados à manipulação de números decimais,
que também foi manifestada por outros estudantes. Brousseau (1976) alerta para
os obstáculos de origem didática relacionados a esses números e, dentre um dos
obstáculos possíveis, o pesquisador menciona o fato de que alguns assumem
implicitamente, e de modo incorreto, uma definição para números decimais como
sendo um número natural com vírgula. Essa concepção do aluno para número
decimal pode gerar diversas dificuldades relativas às operações com estes
números, as quais refletem a incompreensão de ideias como as de densidade da
reta dos números reais, de conjuntos de números discretos, de ordem, de
sucessores etc. (ALMOULOUD, 2007; BROUSSEAU, 1976).
ACTIO, Curitiba, v. 4, n. 2, p. 127-147, mai./ago. 2019.
Com relação à generalização da situação proposta na tarefa 2, o aluno EF2
não conseguiu fazer a generalização sozinho, uma vez que ele confundiu as
variáveis quantidade de cópias, valor a ser pago e a constante de multiplicação
(valor de cada cópia). Porém, apesar de muitas dúvidas por parte do aluno, e
mediante auxílio do pesquisador o aluno chegou à generalização correta por meio
da representação algébrica: 𝑦 = 0,09𝑥. A figura 1 mostra os cálculos numéricos
realizado pelo aluno EF2, confirmando que ele mobilizou a ideia regularidade.
Figura 1 - Resolução do aluno EF2
Fonte: Autoria própria (2018).
Destacamos que esse procedimento de cálculo realizado pelo aluno EF2 na
figura 1, associado à ideia base regularidade se refere ao processo que antecipa a
generalização processo que envolve abstrações e pensamento matemático mais
avançado por se desprender de números e valores particulares da função. Nesses
momentos, consideramos oportuno que o professor proporcione momentos para
que os alunos avancem para a generalização.
No que diz respeito aos alunos do ano, dois alunos resolveram
corretamente a tarefa, mas apresentaram dificuldades em relação à generalização
expressão matemática relacionada ao número de cópias. Particularmente, o
aluno EM1 mostrou não mobilizar esquema pronto e organizado para responder
tal situação. No item (e), por exemplo, o aluno EM1 obteve a expressão f(x) = y,
alegando que f(x) representa o valor a ser pago, e y a quantidade de cópias.
Notamos que ao apresentar a expressão f(x) = y o estudante faz a associação da
situação proposta com uma função, porém, justifica de modo inadequado os
significados de f(x) e y. Esse fato nos revela, baseados em Vergnaud (1990), que o
estudante ainda não se apropriou do conceito de função no decorrer do processo
escolar, e que uma situação como esta, que demanda a generalização de uma
regularidade apresentada, ainda não faz parte do repertório de esquemas
mobilizados pelo aluno EM1, mesmo cursando o 3º ano do Ensino Médio.
Porém, esta tarefa juntamente com o diálogo estabelecido com o
pesquisador trouxe aprendizagens para o estudante, colaborando para a
organização prévia de um esquema elaborado pelo aluno. Pois, no momento em
que ele apresentou como resposta a expressão f(x) = y, fizemos uma intervenção
solicitando que ele substituísse o valor de 8 cópias e conferisse com a tabela que
ele havia completado. Assim ele o fez, obtendo em seus cálculos valores diferentes
dos apresentados pela tabela. Com isso, o aluno pôde refletir sobre a situação,
mobilizando seus conhecimentos prévios e conseguindo apresentar as expressões
generalizadas corretas f(x) = y . 0,09 para cópias preto e branco e f(x) = y . 1,20
para cópias coloridas.
A terceira tarefa teve como objetivo retomar a ideia de dependência de
maneira diferente das anteriores, e também envolveu as ideias de
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correspondência, variável, regularidade e generalização por meio de uma lei
matemática. Nesta tarefa o aluno também deveria realizar operações matemáticas
para obter a variável independente em função da variável dependente.
Em relação aos alunos do 9º ano, observamos dificuldades na conversão de
unidades de medida, conforme observamos na fala do aluno EF1 após o
pesquisador solicitar a explicação sobre seus cálculos do item a: “[...] esses 10g eu
acrescentei fazendo a conta 100g dividido por 2,30 que deu 0,23”. Notamos que
ele inverteu os valores do numerador e do denominador e outro erro se refere ao
valor de 2,30 dividido por 100 que é igual a 0,023 e não 0,23. No último item da
tarefa 3, foi informado o valor a ser pago pelo cliente e o aluno deveria calcular
quanto o cliente consumiu de comida em gramas, sendo que ao final das
operações o valor alcançado seria 8 (representando 8 porções de 100g) e a
resposta deveria ser 800g. Somente os alunos EF1 e EF2 conseguiram realizar esta
tarefa, mas ainda apresentaram dúvidas e hesitações durante a resolução.
Analisando as respostas dos estudantes do ano do Ensino Médio, no item
(b) o aluno EM2 apresentou dificuldades para obter a generalização, apresentando
de modo incorreto a expressão V = x . 2,30. Neste momento, com a intenção de
que ele percebesse que a expressão não é adequada para a situação proposta,
fizemos a intervenção solicitando que substituísse na lei determinada por ele os
valores encontrados no item (a). Assim, observando que os valores adquiridos não
correspondiam aos adequados, o aluno EM2 reconheceu que faltava somar o
refrigerante e conseguiu obter a generalização correta, dada por: V = x . 2,30 +
3,20.
No item (d) foi informado que um cliente gastou x reais e perguntava
quantos gramas o cliente consumiu. O aluno EM3 realizou as operações na
calculadora e obteve o valor 8 (oito) que correspondia a 800g. Mas em sua resposta
escreveu que o cliente consumira 8g, o que não é correto. Recorremos, então, ao
enunciado o qual os valores dependem do consumo que é dado a partir de 100g.
O aluno EM3 refletiu, mas ainda não obteve êxito em sua resposta. Nesse caso, o
questionamos sobre Fernando que consumiu 410g, que é superior a 8g, e pagou
uma quantia muito inferior. Com esta pergunta, o aluno fez novas reflexões e
conseguiu apresentar com êxito a resposta correta. Essa é mais uma situação em
que a intervenção do pesquisador foi essencial para fazer o aluno refletir sobre a
tarefa proposta, reorganizar seus esquemas mobilizados anteriormente e
apresentar a resposta correta para a tarefa 3.
A quarta tarefa teve como objetivo retomar a questão de dependência e da
generalização, incluindo as ideias de correspondência, variável, regularidade e
ainda a representação gráfica. Nesta tarefa, provavelmente por influência de suas
resoluções anteriores, observamos que os alunos EF1 e EF3 desenvolveram melhor
a generalização em relação às tarefas antecedentes, visto que o aluno EF3
conseguiu realizar a questão com algumas intervenções do pesquisador, que antes
não havia conseguido e o aluno EF1 não necessitou de intervenções. o aluno EF2
não conseguiu realizar a tarefa, percebemos certo desconforto por parte do aluno
ao tentar resolver esta tarefa, ou seja, ele não tinha esquemas prontos para
resolvê-la e seus conhecimentos prévios não foram suficientes para organizar um
esquema que o levasse à solução da tarefa 4.
Com relação à representação gráfica exigida na Tarefa 4, os alunos do ano
não mostraram habilidades para resolvê-la, apresentando muitas dúvidas e houve
ACTIO, Curitiba, v. 4, n. 2, p. 127-147, mai./ago. 2019.
a necessidade de várias intervenções durante a realização desta. Porém, notamos
que os conhecimentos dos alunos avançaram, mesmo que localmente,
provavelmente em decorrência das intervenções feitas pelo pesquisador e em
função das tarefas anteriores. O aluno EF1 fez a representação gráfica da maneira
correta (gráfico de uma função dos Naturais nos Naturais), mesmo não tendo
trabalhado em sala de aula, conforme informou o seu professor ao pesquisador. O
aluno EF2, apesar de não ter realizado a generalização nesta tarefa, conseguiu com
o auxílio do pesquisador representar graficamente os dois planos de saúde
propostos na tarefa, em função do número de consultas.
Com relação aos alunos do 3º ano, conforme eles resolviam as tarefas,
percebemos um avanço de suas respostas corretas em relação à generalização das
funções. Observamos que no item (e), que questionava se em algum momento um
plano de saúde era mais vantajoso que outro, os alunos davam a resposta correta,
mas não explicavam em quais condições, conforme era solicitado na tarefa, ou
seja, respondiam corretamente, mas não conseguiam explicar o porquê. Do ponto
de vista de Duval (2013), para a compreensão de um conceito, é essencial que o
estudante coordene diferentes registros de representação semiótica. Neste caso,
notamos que os alunos têm dificuldades em expressar com suas palavras
(linguagem natural) quais são os motivos que indicam que um plano de saúde é
mais vantajoso do que o outro. Essa dificuldade do aluno pode ser resultado de um
processo de ensino em que raramente o aluno precisa explicar em linguagem
natural as interpretações e resultados matemáticos propostos em sala de aula.
A quinta tarefa teve como objetivo analisar os conhecimentos do aluno
sobre o que é função, considerando diferentes representações: algébrica,
linguagem natural e gráfica. Nossas análises apontam dificuldades dos alunos
principalmente em relação à representação gráfica.
No que se refere aos alunos do 9º ano, os sujeitos da pesquisa se mostraram
mais familiarizados para reconhecer uma função por meio do diagrama de Venn
(item c). No caso da linguagem natural, os alunos tiveram dificuldades em se
expressarem em relação às outras representações, quando questionados sobre o
porquê de ser ou não uma função. Eles reconheciam que se tratava de uma função,
mas não conseguiam dar explicações para suas afirmações. No item sobre a
representação gráfica (item b), os três alunos consideraram que o primeiro gráfico
era função devido ao padrão dos riscoscomo disse o aluno EF3, e o aluno EF2
afirmou: “Eu não consigo ver função no desenho”. a relação que trata de uma
função composta (item d), todos eles afirmaram que nunca viram nada parecido
nas aulas, por isso não conseguiram realizar este item da tarefa 5. Na
representação simbólica na forma de tabela (item e), os alunos EF1 e EF2
responderam corretamente dizendo que não era função, alegando que “não era
função porque um estava saindo do padrão (que era )”.
Observando as respostas dos alunos do ano, no item (b) em relação ao
primeiro gráfico, o aluno EM3 respondeu corretamente que o gráfico não
representa uma função. Porém, ao justificar, ele respondeu que não é função
porque ele nunca havia visto um gráfico de tal forma, o que não justifica
corretamente a afirmação. Após analisar os demais gráficos e os Diagramas de
Venn, o aluno EM3 foi questionado novamente sobre sua justificativa, e neste
momento ele respondeu corretamente que o primeiro e o último gráfico não
ACTIO, Curitiba, v. 4, n. 2, p. 127-147, mai./ago. 2019.
representam função, pois para um único valor de x temos mais de um
correspondente em y.
Nossas análises mostram que os alunos estão mais familiarizados com as
representações das funções na forma de diagramas de Venn, fato que pode
prejudicar a essência da compreensão do conceito de função, uma vez que as
diferentes representações simbólicas, as diferentes representações matemáticas
(gráficas, linguagem natural, simbólica (algébrica e numérica), figural) precisam ser
exploradas progressivamente em sala de aula, proporcionando que os alunos
vivenciem diferentes situações (VERGNAUD, 1990) para a compreensão do
conceito.
No item (d), os alunos também demonstraram não estar familiarizados com
a inequação apresentada. O aluno EM1 respondeu inicialmente que não se tratava
de uma função, pedimos que ele pensasse na construção do gráfico cartesiano, e
após refletir por um tempo, mobilizar seus conhecimentos prévios, ele modificou
sua resposta alegando que se tratava de função.
A sexta tarefa teve como objetivo retomar a ideia base de dependência,
variável, regularidade, correspondência e generalização, mas com a diferença que
os alunos deveriam analisar um gráfico presente no enunciado da questão. Nesta
tarefa, os alunos do ano apresentaram menos dificuldades do que nas tarefas
anteriores, que não sabiam alguns conceitos tais como domínio e imagem de
uma função.
Quanto aos estudantes do 3º ano do Ensino Médio, apresentamos a seguir
a resolução do aluno EM1:
Figura 2 - Resolução do aluno EM1
Fonte: Autoria própria (2018).
Podemos observar pela figura 2 que no item (d) inicialmente o aluno não
conseguiu fazer uma boa interpretação do gráfico e observar que a taxa de vazão
é de 50 litros por minuto, pedimos que ele analisasse novamente o gráfico e com
esta nova análise o aluno obteve êxito e respondeu corretamente ao item.
Observamos outra resposta incorreta desse mesmo aluno no item (e), pois
novamente ele apresentou dificuldades para obter a lei matemática na questão,
porém não foi necessária intervenção neste item, pois o próprio aluno reconheceu
seu erro e o corrigiu. Ou seja, notamos que a ideia base de generalização não
estava acomodada por este aluno, ele não possuía um esquema previamente
organizado para responder a esta tarefa. Mas podemos afirmar que ele fez
reflexões e avançou em suas reflexões, apresentando expressão correta e
generalizada ao término da tarefa.
Para finalizar as tarefas, fizemos o seguinte questionamento aos alunos:
“você estudou sobre funções nas aulas de Matemática? Em caso positivo diga,
para você, o que é função?”.
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Em relação a terem estudado funções, os alunos do Ensino Médio disseram
que sim, mas que faz algum tempo. Já os alunos do Ensino Fundamental disseram
ter visto pouca coisa e, segundo seus professores, eles tiveram apenas uma
introdução ao conceito, no caso dos alunos EF1 e EF2, e o aluno EF3 não tinha visto
nada ainda.
Apresentamos a seguir as respostas dos 6 (seis) sujeitos da pesquisa sobre o
que é função:
Aluno EF1 Função é quando uma coisa depende de outra”.
Aluno EF2 Função é quando uma coisa depende de outra para outra
coisa.
Aluno EF3 Função é quando tem algo crescendo”.
Aluno EM1 Função serve para achar um valor que dependa de uma
quantidade. Então função tem domínio e imagem. A Imagem depende do Domínio,
com o domínio, você acha o que está procurando. Faz tempo que eu estudei”.
Aluno EM2 Função é quando você tem algo que depende de outro”.
Aluno EM3 É quando temos algo dependente e algo que não depende de
nada, algo independente, algo que podemos construir o gráfico.
Notamos nas falas dos alunos do Ensino Fundamental que eles possuem
uma visão do conceito de função restrita principalmente à ideia de dependência
(alunos EF1 e EF2). Além disso, o aluno EF3 concebe função apenas como uma
relação de crescimento, ou seja, possui uma compreensão incorreta do conceito
em questão, afinal uma função pode ser ou representar um fenômeno crescente,
decrescente, não crescente ou não decrescente.
em relação aos alunos do Ensino Médio, como era de se esperar, notamos
que o conceito de função está mais desenvolvido do que para os alunos do Ensino
Fundamental, pois eles mencionam elementos e relações de dependência,
domínio, imagem, gráfico. Porém eles ainda se limitam, assim como os alunos do
Ensino Fundamental, principalmente à ideia de dependência.
CONCLUSÕES
Apesar das diferenças nos níveis e experiências escolares existentes entre
os alunos do ano do Ensino Fundamental e os alunos do ano do Ensino Médio,
todos os alunos entrevistados manifestaram dúvidas, erros, dificuldade em
expressar suas ideias na linguagem natural, equívocos relacionados à ideia base de
generalização, não reconhecimento das funções em um certo tipo de
representação, como a gráfica, e facilidade em identificar função por meio do
diagrama de Venn.
Inferimos que a familiaridade dos sujeitos desta pesquisa com os diagramas
de Venn pode ser resquícios do Movimento da Matemática Moderna, momento
em que a teoria de conjuntos, linguagem algébrica e diagramas tiveram forte
influência nos livros didáticos e na formação dos professores de Matemática.
Atualmente, mesmo que com menos frequência, os diagramas ainda estão
presentes nos livros didáticos de Matemática principalmente para o ensino de
funções.
ACTIO, Curitiba, v. 4, n. 2, p. 127-147, mai./ago. 2019.
Segundo os professores dos alunos no 9º ano, que foram sujeitos desta
pesquisa, o conteúdo de função estava sendo introduzido no momento da
entrevista, por meio dos diagramas de Venn. Acreditamos que este foi o motivo de
todos os alunos do 9º ano manifestarem familiaridade com a identificação de uma
função por meio de diagrama de Venn. Já em relação aos alunos do 3º ano, todos
os alunos haviam estudado o conceito de função formalmente desde o ano do
Ensino Fundamental. No entanto, mesmo com esta diferença de experiência
escolar, os alunos do ano e ano do Ensino Médio mobilizaram conhecimentos
semelhantes, principalmente os errôneos. A principal diferença percebida entre as
resoluções desses alunos refere-se ao fato de que os alunos do ano demoravam
mais tempo para formular suas respostas, enquanto que os alunos do ano
apresentaram mais agilidade, ou seja, os conhecimentos prévios dos alunos do 3º
ano do Ensino Médio os permitiam mobilizar diferentes esquemas rapidamente e
apresentar uma resposta (correta ou não) para a situação proposta.
Além disso, destacamos que os alunos do 9º ano apresentaram dificuldades
em relação às generalizações propostas, enquanto que os estudantes do ano
apresentaram dificuldades principalmente nas primeiras tarefas, e conforme as
tarefas foram avançando, percebemos que seus conhecimentos foram se
acomodando e se adaptando às situações, propiciando aos alunos momentos de
aprendizagens e familiaridade com a generalização das situações propostas.
Um fato que chama a atenção é que cinco (05) alunos, dentre os seis (06)
entrevistados, ao serem questionados sobre o que é função apresentaram
respostas envolvendo a ideia base de dependência, e em geral as respostas foram
centralizadas em função é algo que depende de outra coisa, não sendo possível
perceber diferenças significativas entre as respostas dos alunos do 9º e do 3º ano.
Destarte, as análises revelam que os alunos do ano, mesmo o tendo
estudado formalmente o conteúdo de função, apresentaram habilidades para
responder algumas tarefas, principalmente as relacionadas às ideias base de
dependência, correspondência, variável e regularidade. Esse fato sinaliza que
ideias base do conceito de função vêm sendo trabalhadas, mesmo que
implicitamente no decorrer do processo escolar, conforme preconizam algumas
pesquisas brasileiras (NOGUEIRA, 2014; PAVAN, 2010; BRAGA, 2006), bem como a
Base Nacional Comum Curricular (BNCC) (2017). Além disso, ao analisar o
desempenho dos alunos durante o processo de resolução das tarefas, podemos
afirmar que as tarefas possibilitaram reflexões sobre o conceito de função,
propiciando aprendizagens aos sujeitos da pesquisa, especialmente em relação à
mobilização de cinco ideias base de função: variável, dependência,
correspondência, regularidade e generalização.
Sendo assim, consideramos que as tarefas propostas nesta pesquisa podem
proporcionar contribuições para a ação do professor em sala de aula de diferentes
níveis de ensino, pois elas permitem aos alunos a mobilização de diferentes ideias
matemáticas e conceitos sobre funções, tais como: variável, dependência,
generalização, correspondência, regularidade, domínio, imagem, plano cartesiano,
representações algébrica, gráfica, linguagem natural, funções crescente e
decrescente, números (reais, inteiros, racionais, decimais) etc., além de diferentes
propriedades matemáticas. Essa diversidade de situações elaboradas com a
intenção de contemplar estes diferentes elementos do campo conceitual das
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funções é essencial para ser explorada ao longo do processo escolar, conforme
preconiza Vergnaud (1990), para a aprendizagem de um conceito matemático.
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Basic ideas of the concept of function
mobilized by primary and secondary school
students
ABSTRACT
According to curricular documents, the concept of function must be studied in the 8th and
9th years of Elementary School, and deepened in High School. However, since the initial
years it is possible to introduce base - variable, correspondence, dependence, regularity and
generalization - of this concept so that during the course of the school process this concept
can be developed by students. Thus, we carry out this research with the objective of
analyzing the basic ideas about function mobilized by students of the 9th grade and 3rd year
of secondary education, by solving mathematical tasks on related function. Data collection
took place through structured interviews, which were recorded in audio, and had previously
developed mathematical tasks for the students to solve. The analyzes show that students
partially mobilize the basis ideas of function, but that the greatest difficulties occur in
relation to the notion of generalization. In addition, students expressed difficulties in
recognizing a function in graphical representations and natural language.
KEYWORDS: Mathematics Education. Basic Education. Affine function.
ACTIO, Curitiba, v. 4, n. 2, p. 127-147, mai./ago. 2019.
NOTAS
1 O artigo produzido pelos autores desta pesquisa está sendo avaliado por
pareceristas de um periódico científico e tem como título: Funções afim e
quadrática no ensino de matemática: um estudo bibliográfico de pesquisas
brasileiras publicadas em periódicos científicos.
2 Esta pesquisa se refere aos estudos de Iniciação Científica de dois acadêmicos do
Curso de Matemática, autores deste trabalho. No momento de coleta de dados,
considerando suas primeiras experiências com pesquisas qualitativas na área de
Educação Matemática, consideramos que analisar dados de 6 estudantes, sendo 3
do Ensino Fundamental e 3 do Ensino Médio seria uma quantidade pertinente para
o trabalho a ser realizado pelos acadêmicos.
AGRADECIMENTOS
Agradecemos à Fundação Araucária (Agência de Fomento do Estado do Paraná) e
ao CNPq Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico pelo
apoio financeiro, relacionado às bolsas de Iniciação Científica destinadas aos dois
primeiros autores deste texto, que contribuíram para a realização desta pesquisa.
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Recebido: 24 ago. 2018
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DOI: 10.3895/actio.v4n2.8758
Como citar:
BERNARDINO, F.; GARCIA, W. F. D. G.; REZENDE, V. Ideias base do conceito de função mobilizadas por
estudantes do Ensino Fundamental e Ensino Médio. ACTIO, Curitiba, v. 4, n. 2, p. 127-147, mai./ago. 2019.
Disponível em: https://periodicos.utfpr.edu.br/actio. Acesso em: XXX
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